由正弦定理，题中已知等式即化为$$3b^2+7c^2=2bc\sin A+2a^2,$$又由余弦定理有$$b^2+c^2=2bc\cos A+a^2,$$以上两式联立消去 $a$ 可得$$b^2+5c^2=2bc\left(\sin A-2\cos A\right),$$于是有$$\sin A-2\cos A=\dfrac b{2c}+\dfrac{5c}{2b}\geqslant \sqrt5,$$而$$\sin A-2\cos A=\sqrt5\sin(A-\varphi)\leqslant \sqrt5,$$其中 $\tan \varphi=2.\varphi\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),$ 因此 $A-\varphi=\dfrac{\pi}{2}$，所以$$\begin{cases}\sin A=\cos \varphi=\dfrac{\sqrt5}{5},\\
\cos A=-\sin\varphi=-\dfrac{2\sqrt5}{5},\end{cases}$$所以$$\sin\left(A+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot(\sin A+\cos A)=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$$