在边长为 $1$ 的菱形 $ABCD$ 中（如图所示），$\left|\overrightarrow {EA}\right|=3\left|\overrightarrow {ED}\right|$，$\left|\overrightarrow { AF}\right|= \left|\overrightarrow {FB}\right|$，$\left|\overrightarrow {BC}\right|=3\left|\overrightarrow {BG}\right|$，$ \overrightarrow {DA}\cdot \overrightarrow {AB}=m$，则 $ \overrightarrow {FE}\cdot \overrightarrow {FG}= $ ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac{5m}{24}$
【解析】
根据换底公式，有\[\begin{split} \overrightarrow{FE}\cdot \overrightarrow{FG}&=\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AF}\right)\\
&=\left(\dfrac 34\overrightarrow{AD}-\dfrac 12\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\dfrac 23\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}-\dfrac 12\overrightarrow{AB}\right)\\
&=\left(\dfrac 34\overrightarrow{AD}-\dfrac 12\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\dfrac 12\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AD}\right)\\
&=\dfrac 14AD^2-\dfrac 14AB^2+\dfrac{5}{24}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\\
&=-\dfrac{5m}{24}.\end{split}\]
&=\left(\dfrac 34\overrightarrow{AD}-\dfrac 12\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\dfrac 23\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}-\dfrac 12\overrightarrow{AB}\right)\\
&=\left(\dfrac 34\overrightarrow{AD}-\dfrac 12\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\dfrac 12\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AD}\right)\\
&=\dfrac 14AD^2-\dfrac 14AB^2+\dfrac{5}{24}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\\
&=-\dfrac{5m}{24}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
