设数列 $\{a_n\}$ 的各项依次是 $1$，$2$，$2$，$3$，$3$，$3$，$4$，$4$，$4$，$4$，$5$，$\cdots $，（$1$ 个 $1$，$2$ 个 $2$，$\cdots$，$k$ 个 $k$，$\cdots$．）则此数列的第 $100$ 项等于 ；前 $100$ 项之和等于 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$14$；$945$
【解析】
根据数列的规律，知数列中首次出现 $k$ 的项数是 $\dfrac {k(k-1)}{2}+1$ 项．因为$$\dfrac {14\cdot 13}{2}+1\leqslant 100<\dfrac {15\cdot 14}{2}+1,$$所以数列的第 $100$ 项是 $14$；而且首次出现 $14$ 的是数列中的第 $92$ 项，故数列前 $100$ 项的和为$$S=\dfrac 16\cdot 13 \cdot 14\cdot 27+9\cdot 14=945.$$
题目
答案
解析
备注
