$\triangle ABC$ 中，已知 $\dfrac1{\tan \dfrac{A}{2}}+\dfrac1{\tan\dfrac{C}2}=\dfrac{4}{\tan\dfrac{B}2}$，且 $b=4$，则 $a+c=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
根据题意有$$\dfrac{\sin\frac{A+C}2}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}2}=\dfrac{4\sin\frac{A+C}2}{\cos\frac{A+C}2},$$于是$$\tan\dfrac{A}2\tan\dfrac{C}2=\dfrac15,$$进而$$\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{\sin(A+C)}{\sin A+\sin C}=\dfrac{\cos\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A-C}{2}}=\dfrac{1-\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}}{1+\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}}=\dfrac23,$$所以$$a+c=6.$$
题目
答案
解析
备注
