已知 $0<x<2\pi$，函数 $f(x)=\dfrac{\sin x-3}{111-32\sin x-2\cos 2x}$，则当 $x=$ 时，$f(x)$ 取得最小值 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$x=\dfrac{\pi}{6}$ 或 $\dfrac{11\pi}{6}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-\dfrac1{36}$
【解析】
根据题意有$$y=\dfrac{\sin x-3}{4\sin^2x-32\sin x+109},0<x<2\pi.$$令 $t=\sin x-3$（$-4<t<-2$），则$$y=\dfrac{t}{4t^2-8t+49}=\dfrac1{4t+\dfrac{49}{t}-8}\geqslant -\dfrac1{36}.$$当且仅当 $t=-\dfrac72$，即 $\sin x=-\dfrac12$ 也即 $x=\dfrac76\pi$ 或 $\dfrac{11}6\pi$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-\dfrac1{36}$．
题目
答案
解析
备注
