已知 $a,b,c\in\mathbb R$，集合 $S=\{x\mid(x+a)(x^2+bx+c)=0,x\in\mathbb R\}$，$T=\{x\mid(ax+1)(cx^2+bx+1)=0,x\in\mathbb R\}$，用 $|A|$ 表示有限集 $A$ 的元素个数，则 $|S|-|T|$ 的可能值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$ 或 $1$
【解析】
令$$\begin{split} &f(x)=(x+a)(x^2+bx+c)\\&g(x)=(ax+1)(cx^2+bx+1)\end{split}$$设 $g(x_0)=0,x_0\in\mathbb R$，显然 $x_0\neq 0$，则$$g(x_0)=x_0^3f\left(\dfrac1{x_0}\right),$$于是除 $x_0$ 外，$f(x),g(x)$ 的零点是一一对应的，又存在 $a,b,c$ 使得 $f(0)=0$，所以 $|S|=|T|+1$ 或 $|S|=|T|$，即有 $|S|-|T|=0$ 或 $1$．
题目
答案
解析
备注
