定义映射 $f :A \to B$，其中 $A = \left\{ {\left( {m,n} \right) \left|\right. m,n \in {\mathbb{R}}} \right\}$，$B = {\mathbb{R}}$．已知对所有的有序正整数对 $\left( {m,n} \right)$ 满足下述条件：
① $f\left( {m,1} \right) = 1$；
② 若 $m < n$，则 $f\left( {m,n} \right) = 0$；
③ $f\left( {m + 1,n} \right) = n\left[ {f\left( {m,n} \right) + f\left( {m,n - 1} \right)} \right]$，
则 $f\left( {3,2} \right)$ 的值是 ；$f\left( {n,n} \right)$ 的表达式为 （用含 $n$ 的代数式表示）．
① $f\left( {m,1} \right) = 1$；
② 若 $m < n$，则 $f\left( {m,n} \right) = 0$；
③ $f\left( {m + 1,n} \right) = n\left[ {f\left( {m,n} \right) + f\left( {m,n - 1} \right)} \right]$，
则 $f\left( {3,2} \right)$ 的值是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$6$；$n!$
【解析】
根据题意有\[\begin{split} f\left(3,2\right)&=f\left(2+1,2\right)\\ &=2\left[f\left(2,2\right)+f\left(2,1\right)\right]\\&=2f\left(2,2\right)+2,\end{split}\]而\[\begin{split}f\left(2,2\right)&=f\left(1+1,2\right)\\ &=2\left[f\left(1,2\right)+f\left(1,1\right)\right]\\ &=2,\end{split} \]所以$$f\left(3,2\right)=6 .$$递推可知\[\begin{split} f\left(n,n\right)&=n\left[f\left(n-1,n\right)+f\left(n-1,n-1\right)\right]\\ &=nf\left(n-1,n-1\right)\\ &=\cdots\\ &=n\cdot \left(n-1\right)\cdots 3\cdot 2 \cdot f\left(1,1\right)\\ &=n!.\end{split} \]
题目
答案
解析
备注
