已知三点 $A(3,0)$，$B(1,2)$，$C(4,3)$，则 $\triangle ABC$ 的面积等于 ．又设点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内，使 $\triangle PAB,\triangle PAC,\triangle PBC$ 的面积之比为 $2:1:1$，则点 $P$ 的坐标是 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$4$；$(3,2)$
【解析】
根据三角形的面积坐标公式，$\triangle ABC$ 的面积为\[\dfrac 12\cdot \begin{Vmatrix} 3-4&0-3\\ 1-4&2-3\end{Vmatrix}=4,\]又因为 $\triangle PAB,\triangle PAC,\triangle PBC$ 的面积之比为 $2:1:1$，所以$$2\overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PA}=\overrightarrow {0},$$解得 $P(3,2)$．
题目
答案
解析
备注
