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设函数 $f(x)=\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{ax+2}(a\in\mathbb R)$，若在其定义域内不存在实数 $x$，使得 $f(x)\leqslant0$，则实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
    >
    分式函数
【答案】
$\left[0,\dfrac23\right]$
【解析】
情形一当 $a=0$ 时，有\[f(x)=\sqrt{x+3}+\dfrac 12,\]符合题意；
情形二当 $a\ne 0$ 时，由于\[\lim_{x\to -\frac 2a}\dfrac{1}{ax+2}=\infty,\]于是 $-\dfrac 2a$ 不在区间 $(3,+\infty)$ 上，从而\[-\dfrac 2a\leqslant 3,\]解得\[0<a\leqslant \dfrac 23,\]经验证，$a$ 在该范围内取值时符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 23\right]$．
题目 答案 解析 备注
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