已知 $x,y$ 满足 $\begin{cases} 3x+y\leqslant t,\\ x\geqslant \dfrac{\pi}6,\\ y\geqslant 0,\end{cases}$ 其中 $t>\dfrac{\pi}{2}$，若 $\sin(x+y)$ 的最大值与最小值分别为 $1,\dfrac12$，则实数 $t$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{5}{6}\pi,\dfrac{7}{6}\pi\right]$
【解析】
显然当 $(x,y)=\left(\dfrac{\pi}6,0\right)$ 时，$x+y$ 取得最小值 $\dfrac{\pi}6$，此时 $\sin(x+y)$ 取得最小值 $\dfrac12$，又因为$$x+y\leqslant x+t-3x=t-2x\leqslant t-\dfrac{\pi}3,$$因此当 $(x,y)=\left(\dfrac{\pi}6,t-\dfrac{\pi}2\right)$ 时，$x+y$ 取得最大值 $ t-\dfrac{\pi}3$，根据题意要使得 $\sin(x+y)$ 的最大值与最小值分别为 $1,\dfrac12$，需使$$\dfrac{\pi}2\leqslant \max\{x+y\}\leqslant \dfrac{5}{6}\pi,$$因此$$\dfrac{\pi}2\leqslant t-\dfrac{\pi}3\leqslant \dfrac{5}{6}\pi,$$解得 $t$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{5}{6}\pi,\dfrac{7}{6}\pi\right]$．
题目
答案
解析
备注
