已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对应边分别为 $a,b,c$ 且 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2$，则使得 $\sin^2B+\sin^2C=m\sin B\sin C$ 成立的实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[2,4]$
【解析】
由正弦定理有$$b^2+c^2=mbc,$$所以$$m=\dfrac bc+\dfrac cb\geqslant 2,$$当 $b=c$ 时 $m$ 取得最小值 $2$．又因为$$S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2=\dfrac12bc\sin A,$$所以$$a^2=2\sqrt3bc\sin A.$$又$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=mbc-2bc\cos A,$$以上两式相减后约去 $bc$ 得$$m=2\cos A+2\sqrt3\sin A=4\sin\left(A+\dfrac{\pi}{6}\right)\leqslant 4,$$当 $A=\dfrac{\pi}3$ 时，$m$ 取得最大值 $4$．综上，$m$ 的取值范围为 $[2,4]$．
题目
答案
解析
备注
