根据题意，有\[f(x)=\dfrac 12+\dfrac{\left(\dfrac 12a-1\right)(x-2)}{2x^2+ax-2a},\]由于 $f(2)>0$，于是只需要考虑 $x\ne 2$ 的情形，此时\[f(x)=\dfrac 12+\dfrac{\dfrac 12a-1}{2(x-2)+\dfrac 8{x-2}+a+8},\]考虑到当 $x\ne 2$ 时，分母\[m=2(x-2)+\dfrac 8{x-2}+a+8\]的取值范围是 $(-\infty,a]\cup [a+16,+\infty)$．
情形一 $a>2$．此时当 $m\to 0^-$ 时，$f(x)\to -\infty$，不符合题意．
情形二 $a=2$．此时 $f(x)=\dfrac 12$，符合题意．
情形三 $0<a<2$．此时当 $m\to 0^+$ 时，$f(x)\to -\infty$，不符合题意．
情形四 $a=0$，此时符合题意．
情形五 $-16<a<0$．此时题意即\[\dfrac 12+\dfrac{\dfrac 12a-1}{a+16}>0,\]解得 $-7<a<0$．
情形六 $a\leqslant -16$．此时当 $m\to 0^+$ 时，$f(x)\to -\infty$，不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-7,0]\cup\{2\}$．