在平面四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB=1$，$BC=4$，$CD=2$，$DA=3$，$\cos(A+C)=-\dfrac13$，则四边形 $ABCD$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
在 $\triangle ABD$ 及 $\triangle CBD$ 中分别由余弦定理有$$\begin{cases} BD^2=AD^2+AB^2-2AD\cdot AB\cdot\cos A,\\
BD^2=CD^2+CB^2-2CD\cdot CB\cdot\cos C,\end{cases}$$将以上两式做差并代入题中已知数据可得$$4\cos C-\dfrac32\cos A=\dfrac52,$$四边形 $ABCD$ 面积可表示为$$ \begin{split} S&=\dfrac12AB\cdot AD\cdot \sin A+\dfrac12CB\cdot CD\cdot\sin C\\
&=\dfrac32\sin A+4\sin C, \end{split}$$将以上两式平方后相加可得$$25+4S^2=73-48\cos(A+C)=89,$$于是$$S=4.$$
BD^2=CD^2+CB^2-2CD\cdot CB\cdot\cos C,\end{cases}$$将以上两式做差并代入题中已知数据可得$$4\cos C-\dfrac32\cos A=\dfrac52,$$四边形 $ABCD$ 面积可表示为$$ \begin{split} S&=\dfrac12AB\cdot AD\cdot \sin A+\dfrac12CB\cdot CD\cdot\sin C\\
&=\dfrac32\sin A+4\sin C, \end{split}$$将以上两式平方后相加可得$$25+4S^2=73-48\cos(A+C)=89,$$于是$$S=4.$$
题目
答案
解析
备注
