$\triangle ABC$ 中，若 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$，则 $\cos A+\cos B+2\cos C$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt5$
【解析】
由于$$\begin{split}\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C&=1+\sin^2C-\dfrac12(\cos 2A+\cos 2B)\\
&=2-\cos^2C-\cos(A+B)\cos(A-B)\\
&=2+\cos C\cdot[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\\
&=2+2\cos A\cos B\cos C.\end{split}$$又题中已知$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2,$$因此$$\cos A\cos B\cos C=0,$$因此 $A,B,C$ 三个角中有一个为直角，因题中要求最大值，因此令 $B=\dfrac{\pi}{2}$，则$$\cos A+\cos B+2\cos C=\cos A+2\sin A\leqslant\sqrt5.$$当 $\tan A=\dfrac12$ 且 $B=\dfrac{\pi}2$ 时，上述不等式取得等号．因此所求表达式最大值为 $\sqrt5$．
&=2-\cos^2C-\cos(A+B)\cos(A-B)\\
&=2+\cos C\cdot[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\\
&=2+2\cos A\cos B\cos C.\end{split}$$又题中已知$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2,$$因此$$\cos A\cos B\cos C=0,$$因此 $A,B,C$ 三个角中有一个为直角，因题中要求最大值，因此令 $B=\dfrac{\pi}{2}$，则$$\cos A+\cos B+2\cos C=\cos A+2\sin A\leqslant\sqrt5.$$当 $\tan A=\dfrac12$ 且 $B=\dfrac{\pi}2$ 时，上述不等式取得等号．因此所求表达式最大值为 $\sqrt5$．
题目
答案
解析
备注
