已知函数 $f\left(x\right) = a\left|\log_2x \right| + 1\left(a \ne 0\right)$，定义函数 $F\left( x \right) = { \begin{cases}
f\left( x \right),x > 0 \\
f\left( { - x} \right),x < 0 \\
\end{cases} }$，给出下列命题：
① $F\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|$；
② 函数 $F\left( x \right)$ 是偶函数；
③ 当 $a < 0$ 时，若 $0 < m < n < 1$，则有 $F\left( m \right) - F\left( n \right) < 0$ 成立；
④ 当 $a > 0$ 时，函数 $y = F\left( x \right) - 2$ 有 $4$ 个零点．
其中正确命题的是 ．（写出所有正确命题的编号）
f\left( x \right),x > 0 \\
f\left( { - x} \right),x < 0 \\
\end{cases} }$，给出下列命题：
① $F\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|$；
② 函数 $F\left( x \right)$ 是偶函数；
③ 当 $a < 0$ 时，若 $0 < m < n < 1$，则有 $F\left( m \right) - F\left( n \right) < 0$ 成立；
④ 当 $a > 0$ 时，函数 $y = F\left( x \right) - 2$ 有 $4$ 个零点．
其中正确命题的是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②③④
【解析】
对于命题 ①，$|f\left(x\right)|=|a|\log _2x|+1|$，当 $x=2$ 时，$F\left(2\right)=a+1$，而 $|f\left(2\right)|=|a+1|$，所以当 $a<-1$ 时，$F\left(x\right)\ne |f\left(x\right)|$，所以命题 ① 不正确；
对于命题 ②，由题意可得$$F\left(x\right)= \begin{cases}-a\log _2x+1,&0<x<1,\\a\log _2x+1,&x\geqslant1,\\-a\log_2 {\left(-x\right)}+1,&-1<x<0,\\a\log _2{\left(-x\right)}+1,&x\leqslant-1,\end{cases} $$所以函数 $F\left(x\right)$ 是偶函数，所以命题 ② 正确；
对于命题 ③，若 $0<x<1$，有 $F\left(x\right)=-a\log _2x+1$，当 $a<0$ 时，函数 $F\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上是单调递增，所以当 $0<m<n<1$，有 $F\left(m\right)-F\left(n\right)<0$ 成立，所以命题 ③ 正确；
对于命题 ④，函数 $F\left(x\right)$ 恒过定点 $\left(1,1\right)$，又因为函数 $F\left(x\right)$ 是偶函数，所以函数 $y=F\left(x\right)-2$ 有 $4$ 个零点；所以命题 ④ 正确；
对于命题 ②，由题意可得$$F\left(x\right)= \begin{cases}-a\log _2x+1,&0<x<1,\\a\log _2x+1,&x\geqslant1,\\-a\log_2 {\left(-x\right)}+1,&-1<x<0,\\a\log _2{\left(-x\right)}+1,&x\leqslant-1,\end{cases} $$所以函数 $F\left(x\right)$ 是偶函数，所以命题 ② 正确；
对于命题 ③，若 $0<x<1$，有 $F\left(x\right)=-a\log _2x+1$，当 $a<0$ 时，函数 $F\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上是单调递增，所以当 $0<m<n<1$，有 $F\left(m\right)-F\left(n\right)<0$ 成立，所以命题 ③ 正确；
对于命题 ④，函数 $F\left(x\right)$ 恒过定点 $\left(1,1\right)$，又因为函数 $F\left(x\right)$ 是偶函数，所以函数 $y=F\left(x\right)-2$ 有 $4$ 个零点；所以命题 ④ 正确；
题目
答案
解析
备注
