当 $1\leqslant x\leqslant 90$ 时，由于$$\sum_{k=1}^x\sin k^\circ\geqslant n\sqrt[n]{\prod_{k=1}^x\sin k^\circ}\geqslant \prod_{k=1}^x\sin x^\circ,$$当且仅当 $x=1$ 时，上式取得等号，因此当 $1\leqslant x\leqslant 90$ 时，仅有一个 $x=1$ 符合题设．
当 $1\leqslant x\leqslant 2017$ 时，分情形讨论
情形一 $x=1$ 显然符合题设；
情形二 $1<x<180$ 时，有$$\sum_{k=1}^x\sin k^\circ> n\sqrt[n]{\prod_{k=1}^x\sin k^\circ}> \prod_{k=1}^x\sin x^\circ,$$不存在符合题意的 $x$．
情形三 $x\geqslant 180$ 时$$\prod_{k=1}^x\sin x^\circ=0,$$故$$\sum_{k=1}^x\sin k^\circ=0.$$因此 $x=360k-1$ 或 $x=360k$，$k\in \mathbb N^\ast$．故当 $x\geqslant 180$ 时，有 $10$ 个 $x$ 符合题设．
综上，当 $1\leqslant x\leqslant 2017$ 时，共有 $11$ 个 $x$ 满足题意．