在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $\dfrac1{\cos A}+\dfrac1{\cos B}=\dfrac2{\cos C}$，则 $\cos C$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac12$
【解析】
根据题意$$\begin{split} \cos C&=\dfrac{2\cos A\cos B}{\cos A+\cos B}\\
&\leqslant \dfrac12(\cos A+\cos B)\\
&=\cos\dfrac{A-B}{2}\cos\dfrac{A+B}{2}\\
&\leqslant \cos\dfrac{A+B}{2}\\
&=\sin\dfrac{C}{2}\\
&=\sqrt{\dfrac12(1-\cos C )}.\end{split}$$解得$$\cos C\leqslant \dfrac12.$$当 $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$ 时，上述不等式取得等号，因此 $\cos C$ 的最大值为 $\dfrac12$．
&\leqslant \dfrac12(\cos A+\cos B)\\
&=\cos\dfrac{A-B}{2}\cos\dfrac{A+B}{2}\\
&\leqslant \cos\dfrac{A+B}{2}\\
&=\sin\dfrac{C}{2}\\
&=\sqrt{\dfrac12(1-\cos C )}.\end{split}$$解得$$\cos C\leqslant \dfrac12.$$当 $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$ 时，上述不等式取得等号，因此 $\cos C$ 的最大值为 $\dfrac12$．
题目
答案
解析
备注
