已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$,角 $A$ 的平分线交对边 $BC$ 于点 $D$,$AB=2AC$,且 $AD=k\cdot AC$,$k\in\mathbb R $,则当 $ k= $  时,边 $ BC$ 的长度最短.
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【解析】
设边长 $AC=m$,$\angle BAC=\alpha$,则 $AD=km,AB=2m$,且有 $\triangle ABC$ 的面积$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot m\cdot 2m\cdot \sin \alpha=1,$$于是$$m^2=\dfrac1{\sin \alpha}.$$又在 $\triangle ABC$ 中由余弦定理$$BC^2=m^2+4m^2-4m^2\cos\alpha=\dfrac{5-4\cos\alpha}{\sin \alpha},\alpha\in(0,\pi).$$易得 $ BC $ 的最小值为 $ \dfrac34 $,当 $ BC=\dfrac34$ 时$$\left(\cos\alpha=\dfrac45\right)\land\left(m^2=\dfrac53\right)$$结合$$\overrightarrow {AD}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC},$$两边平方,并将 $|\overrightarrow{AD}|^2=k^2|\overrightarrow{AC}|^2=k^2m^2$ 代入可得$$k=\dfrac89(1+\cos \alpha)=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}.$$
题目 答案 解析 备注
0.110384s