在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a^2=b^2+bc$，则 $\dfrac ab$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(\sqrt2,\sqrt3)$
【解析】
由正弦定理有$$\sin^2A=\sin^2B+\sin B\sin C,$$再由正弦平方差公式$$\sin(A+B)\sin(A-B)=\sin B\sin C.$$因此$$\sin(A-B)=\sin B.$$又因 $A,B$ 均为锐角，因此$$A=2B.$$进而$$C=\pi-3B.$$由于$$A,B,C\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),$$所以角 $B$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}{4}\right)$，所以$$\dfrac ab=\dfrac {\sin A}{\sin B}=2\cos B,$$而 $\cos B$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，所以 $\dfrac ab$ 的取值范围为 $(\sqrt2,\sqrt3)$．
题目
答案
解析
备注
