在 $\triangle ABC$ 中，$\sin\dfrac A2\sin B\sin C$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt3}{9}$
【解析】
记原题中表达式为 $M$，则$$\begin{split} M&=\sin\dfrac{A}{2}\cdot\dfrac12[\cos(B-C)-\cos(B+C)]\\
&\leqslant \dfrac12\sin\dfrac{A}2[1+\cos A]\\
&=\sin\dfrac{A}2\cdot\left(1-\sin^2\dfrac{A}{2}\right)\\
&\leqslant \dfrac{2\sqrt3}{9}.\end{split}$$当 $B=C$ 且 $\sin \dfrac{A}2=\dfrac{\sqrt3}3$ 时，$M$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt3}{9}$．
&\leqslant \dfrac12\sin\dfrac{A}2[1+\cos A]\\
&=\sin\dfrac{A}2\cdot\left(1-\sin^2\dfrac{A}{2}\right)\\
&\leqslant \dfrac{2\sqrt3}{9}.\end{split}$$当 $B=C$ 且 $\sin \dfrac{A}2=\dfrac{\sqrt3}3$ 时，$M$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt3}{9}$．
题目
答案
解析
备注
