在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $2a^2+3b^2+4c^2=8$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{26}}{13}$
【解析】
由海伦公式可知 $\triangle ABC$ 的面积$$\begin{split} S&=\dfrac14\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\
&=\dfrac1{16}\sqrt{64a^2b^2-(6a^2+7b^2-8)^2}\\
&=\dfrac1{16}\sqrt{-\left(6a^2-8+\dfrac53b^2\right)^2-\dfrac{32}{9}\left(\sqrt{13}b^2-\dfrac{12}{\sqrt{13}}\right)^2+\dfrac{32}{9}\cdot\dfrac{144}{13}}\\
&\leqslant \dfrac1{16}\cdot\sqrt{\dfrac{32}{9}\cdot\dfrac{144}{13}}\\
&=\dfrac{\sqrt{26}}{13}.\end{split}$$当且仅当$$\left(6a^2-8+\dfrac53b^2\right)^2+\dfrac{32}{9}\left(\sqrt{13}b^2-\dfrac{12}{\sqrt{13}}\right)^2=0$$即$$(a^2,b^2)=\left(\dfrac{14}{13},\dfrac{12}{13}\right)$$时上述不等式取得等号，因此 $\triangle ABC$ 的面积 $S$ 最大值为 $\dfrac{\sqrt{26}}{13}$．
&=\dfrac1{16}\sqrt{64a^2b^2-(6a^2+7b^2-8)^2}\\
&=\dfrac1{16}\sqrt{-\left(6a^2-8+\dfrac53b^2\right)^2-\dfrac{32}{9}\left(\sqrt{13}b^2-\dfrac{12}{\sqrt{13}}\right)^2+\dfrac{32}{9}\cdot\dfrac{144}{13}}\\
&\leqslant \dfrac1{16}\cdot\sqrt{\dfrac{32}{9}\cdot\dfrac{144}{13}}\\
&=\dfrac{\sqrt{26}}{13}.\end{split}$$当且仅当$$\left(6a^2-8+\dfrac53b^2\right)^2+\dfrac{32}{9}\left(\sqrt{13}b^2-\dfrac{12}{\sqrt{13}}\right)^2=0$$即$$(a^2,b^2)=\left(\dfrac{14}{13},\dfrac{12}{13}\right)$$时上述不等式取得等号，因此 $\triangle ABC$ 的面积 $S$ 最大值为 $\dfrac{\sqrt{26}}{13}$．
题目
答案
解析
备注
