在 $\triangle ABC$ 中，若 $a+c=2b$，则 $\cos A+\cos C-\cos A\cos C+\dfrac13\sin A\sin C=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由正弦定理，边化角有$$\sin A+\sin C=2\sin B=2\sin (A+C),$$由和差化积公式与二倍角公式有$$2\sin\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}=4\sin\dfrac{A+C}{2}\cos \dfrac{A+C}{2},$$进而$$\cos \dfrac{A-C}{2}=2\cos\dfrac{A+C}{2},$$于是$$\dfrac13=\tan\dfrac A2\tan\dfrac C2=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}\cdot\dfrac{1-\cos C}{\sin C},$$整理可得$$\cos A+\cos C-\cos A\cos C+\dfrac13\sin A\sin C=1.$$
题目
答案
解析
备注
