在 $\triangle ABC$ 中，若 $2{\lg}\tan B={\lg}\tan A+{\lg}\tan C$，则 $B$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right)$
【解析】
显然该三角形为锐角三角形，且有$$\tan^2B=\tan A\tan C=-\tan A\tan(A+B),$$令 $x=\tan A,y=\tan B$，则上式可化为$$y^2=-x\cdot\dfrac{x+y}{1-xy},$$整理得到关于 $x$ 的一个一元二次方程$$x^2+(y-y^3)x+y^2=0,$$上述方程在 $x\in (0,+\infty)$ 范围内有解，仅需$$\left(-\dfrac{y-y^3}{2}>0\right)\land\left((y-y^2)^2-4y^2\geqslant 0\right),$$解得$$y=\tan B\geqslant \sqrt3,$$所以角 $B$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right)$．
题目
答案
解析
备注
