已知 $\alpha,\beta,\gamma\in (0,\pi)$，且 $\alpha +\beta+\gamma=\pi$，$\beta=\dfrac{\pi}3$，且 $\dfrac1{\sin \alpha},\dfrac1{\sin\beta},\dfrac1{\sin \gamma}$ 成等差数列，则 $\cos\dfrac{\alpha-\gamma}{2}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意设 $\alpha=\dfrac{\pi}{3}+x,$ $\gamma=\dfrac{\pi}{3}-x$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right)$，则$$\begin{split} \dfrac{2}{\sin\beta}&=\dfrac{\sin\alpha+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}\\&=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}\\
&=\dfrac{2\sin\frac{\pi}{3}\cos x}{\sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2x}\end{split},$$又因$$\beta=\dfrac{\pi}{3},$$因此$$\dfrac{2\sin\frac{\pi}{3}\cos x}{\sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2x}=\dfrac{4\sqrt3}{3},$$解得 $\cos x=-\dfrac14$（舍掉）或 $1$．于是$$\cos\dfrac{\alpha-\gamma}{2}=\cos x=1.$$
&=\dfrac{2\sin\frac{\pi}{3}\cos x}{\sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2x}\end{split},$$又因$$\beta=\dfrac{\pi}{3},$$因此$$\dfrac{2\sin\frac{\pi}{3}\cos x}{\sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2x}=\dfrac{4\sqrt3}{3},$$解得 $\cos x=-\dfrac14$（舍掉）或 $1$．于是$$\cos\dfrac{\alpha-\gamma}{2}=\cos x=1.$$
题目
答案
解析
备注
