已知 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是三个内角 $A,B,C$ 所对的边，且 $a+c=2b$，则 $\cos A+\cos C+2\cos B$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意由正弦定理可得$$\sin A+\sin C=2\sin B,$$进而$$2\sin\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}=4\sin\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A+C}{2},$$所以$$\cos\dfrac{A-C}{2}=2\cos\dfrac{A+C}{2}=2\sin\dfrac{B}{2},$$而所求表达式$$\begin{split}\cos A+\cos C+2\cos B&=2\cos\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}+2\cos B\\
&=4\sin^2\dfrac{B}{2}+2-4\sin^2\dfrac{B}{2}\\
&=2.\end{split}$$
&=4\sin^2\dfrac{B}{2}+2-4\sin^2\dfrac{B}{2}\\
&=2.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
