已知 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是三个内角 $A,B,C$ 所对的边，且 $a+c=2b$，则 $\cos A+\cos C+2\cos B$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
不妨令 $b=1,a+c=2$，记所求表达式为 $M$，则$$\begin{split} M&=\dfrac{1+c^2-a^2}{2c}+\dfrac{1+a^2-c^2}{2a}+\dfrac{a^2+c^2-1}{ac}\\
&=\dfrac{1}{2a}+\dfrac1{2c}+\dfrac a2+\dfrac c2-\dfrac12\left(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)+\dfrac ca+\dfrac ac-\dfrac1{ac}\\
&=\dfrac1{ac}+1+1-\dfrac ac-\dfrac ca+\dfrac ca+\dfrac ac-\dfrac1{ac}\\
&=2. \end{split}$$
&=\dfrac{1}{2a}+\dfrac1{2c}+\dfrac a2+\dfrac c2-\dfrac12\left(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)+\dfrac ca+\dfrac ac-\dfrac1{ac}\\
&=\dfrac1{ac}+1+1-\dfrac ac-\dfrac ca+\dfrac ca+\dfrac ac-\dfrac1{ac}\\
&=2. \end{split}$$
题目
答案
解析
备注
