在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 对应的边分别是 $a,b,c$，向量 $\overrightarrow a=(\tan A,\sin(A+B))$，$\overrightarrow b=(\sin(B+C),\tan A)$，且 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=\cos A+\cos C$，则 $\dfrac{b+c}{a}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1+\sqrt2,2+\sqrt3)$
【解析】
根据题意有$$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=\tan A\cdot\sin A+\sin C\cdot\tan A=\cos A+\cos C,$$于是$$\sin^2A+\sin C\sin A=\cos ^2A+\cos A\cos C,$$即$$\cos2A=-\cos(A+C)=\cos B,$$由于 $A,B,C$ 均为锐角，因此 $B=2A$，进而 $C=\pi-3A$，且角 $A$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right)$．则$$\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{\sin2A+\sin(\pi-3A)}{\sin A}=4\cos^2A+2\cos A-1,$$由于 $\cos A$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，因此上述表达式的取值范围为 $(1+\sqrt2,2+\sqrt3)$．
题目
答案
解析
备注
