根据题意有$$\dfrac{\sin A}{\cos A}\cdot\left(\dfrac{\cos B}{\sin B}+\dfrac{\cos C}{\sin C}\right)=3,$$于是$$3\cos A=\dfrac{\sin^2A}{\sin B\sin C}=\dfrac{a^2}{bc},$$又$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$$联立以上两式可得$$5a^2=3b^2+3c^2,$$于是$$\cos A=\dfrac15\cdot\left(\dfrac bc+\dfrac cb\right)\geqslant \dfrac25.$$所以$$\sin A\leqslant \dfrac{\sqrt{21}}{5},$$当 $b=c$ 时上述不等式取得等号，因此 $\sin A$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt{21}}{5}$．