已知函数 $f\left(x\right)=\ln \left(m\cdot{\mathrm {e}}^x+n\cdot{\mathrm {e}}^{-x}\right)+m$ 为偶函数，且其最小值为 $2+\ln 4$，则 $m-n=$ ；$\left\{x \left|\right. f\left(x\right)\leqslant f\left(m+n\right)\right\}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$；$\left\{x\mid -4\leqslant x\leqslant 4\right\}$
【解析】
因为 $f\left(x\right)$ 为偶函数，所以 $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$，可得$$m=n,$$所以 $m-n=0$．
因为$$f\left(x\right)=\ln \left[m\left({\mathrm {e}}^x+{\mathrm {e}}^{-x}\right)\right]+m\geqslant \ln \left(2m\right)+m=2+\ln 4,$$当且仅当 $ x=0 $ 时取等号，则可得 $m=2$．
所以 $f\left(x\right)\leqslant f\left(m+n\right)$ 即$$ f(x)\leqslant f\left(4\right),$$同解于$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\leqslant {\rm e}^4+{\rm e}^{-4},$$解得 $ -4\leqslant x\leqslant 4$．
因为$$f\left(x\right)=\ln \left[m\left({\mathrm {e}}^x+{\mathrm {e}}^{-x}\right)\right]+m\geqslant \ln \left(2m\right)+m=2+\ln 4,$$当且仅当 $ x=0 $ 时取等号，则可得 $m=2$．
所以 $f\left(x\right)\leqslant f\left(m+n\right)$ 即$$ f(x)\leqslant f\left(4\right),$$同解于$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\leqslant {\rm e}^4+{\rm e}^{-4},$$解得 $ -4\leqslant x\leqslant 4$．
题目
答案
解析
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