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对于函数 $y=f\left(x\right)\left(x\in\mathbb R\right)$，给出下列命题：
① 在同一直角坐标系中，函数 $y=f\left(1-x\right)$ 与 $y=f\left(x-1\right)$ 的图象关于直线 $x=0$ 对称；
② 若 $f\left(1-x\right)=f\left(x-1\right)$，则函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称；
③ 若 $f\left(1+x\right)=f\left(x-1\right)$，则函数 $y=f\left(x\right)$ 是周期函数；
④ 若 $f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)$，则函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象关于点 $\left(0,0\right)$ 对称．
其中所有正确命题的序号是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的图象变换
【答案】
③④
【解析】
对于 ①，函数 $y=f\left(-x\right)$ 与 $y=f\left(x\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，即关于直线 $x=0$ 对称．又 $f\left(1-x\right)=f\left[-\left(x-1\right)\right]$，即 $y=f\left(1-x\right)$ 的图象是由 $y=f\left(-x\right)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位长度得到的，同理 $y=f\left(x-1\right)$ 的图象是由 $y=f\left(x\right)$ 的图象向右平移 $1$ 个单位长度得到的，所以函数 $y=f\left(1-x\right)$ 与 $y=f\left(x-1\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，所以命题错误；
对于 ②，若 $f\left(1-x\right)=f\left(x-1\right)$，则令 $t=1-x$，得 $x-1=-t$，所以 $f\left(t\right)=f\left(-t\right)$，即 $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$，所以其图象关于直线 $x=0$ 对称，所以命题错误；
对于 ③，令 $t=1+x$，则 $x=t-1$，所以 $x-1=t-2$．由 $f\left(1+x\right)=f\left(x-1\right)$ 得 $f\left(t\right)=f\left(t-2\right)$，所以 $f\left(x\right)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，所以命题正确；
对于（4），若 $f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)$，则令 $t=1-x$，则 $x-1=-t$，所以 $f\left(t\right)=-f\left(-t\right)$，其图象关于点 $\left(0,0\right)$ 对称，所以命题正确．
综上所述，命题 ③④ 正确．
题目 答案 解析 备注
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