已知函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 ${\mathbb {R}}$，若存在常数 $m>0$，对任意 $x\in{\mathbb {R}}$，有 $ \left|f\left(x\right) \right|\leqslant m \left|x \right|$，则称函数 $f\left(x\right)$ 为 $F -$ 函数．给出下列函数：① $f\left(x\right)=x^2$；② $f\left(x\right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$；③ $f\left(x\right)=2^x$；④ $f\left(x\right) = \sin 2x$．其中是 $F-$ 函数的序号为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②④
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 是 $F-$ 函数的充要条件是 $(1)$ 函数在 $x=0$ 处的函数值为 $0$；$(2)$ 当 $x\ne 0$ 时，函数 $\dfrac{f(x)}{x}$ 是有界函数．
③ 不满足条件 $(1)$，因此不是 $F-$ 函数；
① 不满足条件 $(2)$，因此不是 $F-$ 函数；
对于 ②，有\[\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{x^2+1},\]有下界 $0$，有上界 $1$；
对于 ④，有\[\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot 2,\]有上界 $2$，有下界 $-2$；
综上所述，是 $F-$ 函数的有 ②④．
③ 不满足条件 $(1)$，因此不是 $F-$ 函数；
① 不满足条件 $(2)$，因此不是 $F-$ 函数；
对于 ②，有\[\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{x^2+1},\]有下界 $0$，有上界 $1$；
对于 ④，有\[\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot 2,\]有上界 $2$，有下界 $-2$；
综上所述，是 $F-$ 函数的有 ②④．
题目
答案
解析
备注
