已知函数 $f\left(x\right) = \left(x + 3 - \dfrac{a}{2}\right)\left({{\mathrm {e}}^x} - a\right)$，若 $x \in \left(0,1\right)$ 时 $f\left(x\right) < 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[ {{\mathrm {e}},6} \right]$
【解析】
根据题意有$$ \begin{cases}f\left(0\right)=\left(3-\dfrac a2\right)\left(1-a\right)\leqslant 0 ,\\f\left(1\right)=\left(4-\dfrac a2\right)\left(\mathrm e-a\right)\leqslant 0 ,\end{cases} $$得到必要条件 $\mathrm e\leqslant a\leqslant 6 $．
当 $\mathrm e\leqslant a\leqslant 6 $ 且 $x \in \left(0,1\right)$ 时，有$$ 1<\mathrm e^x<\mathrm e ,$$所以$$ \mathrm e^x-a<0 ,$$所以 $ x+3-\dfrac a2>0 $ 在 $x \in \left(0,1\right)$ 上恒成立．
又 $ y=x+3-\dfrac a2 $ 在 $x \in \left(0,1\right)$ 上单调递增，故只需$$ 0+3-\dfrac a2\geqslant 0 ,$$即 $ a\leqslant 6 $．
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[ {{\mathrm {e}},6} \right]$．
当 $\mathrm e\leqslant a\leqslant 6 $ 且 $x \in \left(0,1\right)$ 时，有$$ 1<\mathrm e^x<\mathrm e ,$$所以$$ \mathrm e^x-a<0 ,$$所以 $ x+3-\dfrac a2>0 $ 在 $x \in \left(0,1\right)$ 上恒成立．
又 $ y=x+3-\dfrac a2 $ 在 $x \in \left(0,1\right)$ 上单调递增，故只需$$ 0+3-\dfrac a2\geqslant 0 ,$$即 $ a\leqslant 6 $．
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[ {{\mathrm {e}},6} \right]$．
题目
答案
解析
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