如图，过圆 $O$ 外一点 $P$ 分别作圆的切线和割线交圆于 $A$，$B$，且 $PB = 7$，$C$ 是圆上一点，使得 $BC = 5$，$\angle BAC = \angle APB$，则 $AB = $ ．
【难度】
【出处】
2011年高考广东卷（理）
【标注】
【答案】
$\sqrt {35} $
【解析】
$\because$ $PA$ 是圆的切线，$\therefore $ $\angle BAP = \angle BCA$，又 $\angle BAC = \angle APB$，
$\therefore $ $\triangle BAP$ 与 $\triangle BCA$ 相似，从而 $\dfrac{AB}{CB} = \dfrac{PB}{AB}$，
$\therefore $ $A{B^2} = PB \cdot CB = 7 \times 5 = 35$，
$\therefore $ $AB = \sqrt {35} $．
$\therefore $ $\triangle BAP$ 与 $\triangle BCA$ 相似，从而 $\dfrac{AB}{CB} = \dfrac{PB}{AB}$，
$\therefore $ $A{B^2} = PB \cdot CB = 7 \times 5 = 35$，
$\therefore $ $AB = \sqrt {35} $．
题目
答案
解析
备注
