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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）交于 $A,B$ 两点．若 $|AF|+|BF|=4|OF|$，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的性质
    >
    双曲线的垂径定理
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
【答案】
$y=\pm \dfrac{\sqrt 2}2x$
【解析】
设 $A\left(2pm,2pm^2\right)$，$B\left(2pn,2pn^2\right)$，则由抛物线的定义，可得\[\left(2pm^2+\dfrac p2\right)+\left(2pn^2+\dfrac p2\right)=4\cdot \dfrac p2,\]即\[m^2+n^2=\dfrac 12.\]双曲线的弦 $AB$ 的中点为 $\left(pm+pn,pm^2+pn^2\right)$，由双曲线的垂径定理，可得\[\dfrac{2pm^2-2pn^2}{2pm-2pn}\cdot \dfrac{pm^2+pn^2}{pm+pn}=\dfrac{b^2}{a^2},\]即\[m^2+n^2=\dfrac{b^2}{a^2},\]因此 $\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac 12$，双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \dfrac{\sqrt 2}2x$．
题目 答案 解析 备注
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