已知 $f(x)=x^2+2x+2$，$h(x)=2x^2+4x+3$，$f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$，其中 $g(x)$ 是二次函数，且 $g(9)=161$，则 $g(14)=$ ．
【难度】
【出处】
2017年上海交通大学自主招生试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$361$
【解析】
根据题意，有\[\forall x\in \mathbb R,(x+1)^2+1\leqslant g(x) \leqslant 2(x+1)^2+1.\]令 $x=-1$，可得 $g(-1)=1$，于是可设\[g(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+1,\]此时有\[\forall x\in \mathbb R,(1-a)(x+1)^2\leqslant b(x+1)\leqslant (2-a)(x+1)^2,\]等价于\[\begin{cases}1-a<0,\\ 2-a>0,\\ b^2\leqslant 0,\end{cases}\]即 $1<a<2$ 且 $b=0$．又 $g(9)=161$，于是 $a=\dfrac 85$，因此 $g(14)=361$．
题目
答案
解析
备注
