函数 $f(x)=\sin x\cdot \sin 2x$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2017年上海交通大学自主招生试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$\dfrac{4\sqrt 3}9$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sin x\cdot \sin 2x&=2\sin^2x\cdot \cos x\\
&\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{\left(1-\cos^2x\right)\cdot \left(1-\cos^2x\right)\cdot 2\cos^2x}\\
&\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac {8}{27}}\\
&=\dfrac{4\sqrt 3}9,\end{split}\]等号当 $\cos x=\sqrt{\dfrac 13}$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 3}9$．
&\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{\left(1-\cos^2x\right)\cdot \left(1-\cos^2x\right)\cdot 2\cos^2x}\\
&\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac {8}{27}}\\
&=\dfrac{4\sqrt 3}9,\end{split}\]等号当 $\cos x=\sqrt{\dfrac 13}$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 3}9$．
题目
答案
解析
备注
