设 $S=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2017^3}$，则 $4S$ 的整数部分为 ．
【难度】
【出处】
2017年上海交通大学自主招生试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{ k\cdot (k+1)\cdot (k+2)}<\dfrac{1}{k^3}<\dfrac{1}{(k-1)\cdot k\cdot (k+1)},\]于是\[\dfrac 12\left[\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right]<\dfrac{1}{k^3}<\dfrac 12\left[\dfrac{1}{(k-1)k}-\dfrac 1{k(k+1)}\right],\]从而\[1+\dfrac 1{12}<S<1+\dfrac 14,\]因此 $4S$ 的整数部分为 $4$．
题目
答案
解析
备注
