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如图，$\triangle ABC$ 内接于 $ \odot O$，过 $BC$ 中点 $D$ 作平行于边 $AC$ 的直线 $l$，$l$ 交 $AB$ 于 $E$，交 $ \odot O$ 于 $G,F$，交 $ \odot O$ 在 $A$ 点处的切线于 $P$，若 $PE = 3$，$ED = 2$，$EF = 3$，则 $PA$ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2011年清华大学夏令营试题
【标注】
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    平面几何中的常用知识
    >
    圆幂定理
  • 题型
    >
    三角
    >
    平面几何计算题
【答案】
$\sqrt 6$
【解析】
$ED = 2$，$DF = 1$，$AC = 4$．$AE = BE$．设 $GE = x$，则 $PG = 3 - x$．由相交弦定理，有$$GE \cdot EF = AE \cdot BE,$$于是 $AE = BE = \sqrt {3x} $，又 $PA$ 为切线，因此 $\triangle PAE$ 与 $\triangle BDE$ 相似，于是$$\dfrac{{PE}}{{AE}} = \dfrac{{BE}}{{ED}},$$即$$\dfrac{3}{{\sqrt {3x} }} = \dfrac{{\sqrt {3x} }}{2},$$解得 $x = 2$．由切割线定理，有$$P{A^2} = PG \cdot PF = 6,$$于是 $PA = \sqrt 6 $．
题目 答案 解析 备注
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