在 $\triangle ABC$ 中，$AC=2AB=2$，$BC=\sqrt3$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，且满足 $\dfrac{S_{\triangle PAB}}{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}}=\dfrac{S_{\triangle PBC}}{\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}}=\dfrac{S_{\triangle PAC}}{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}}$，则 $|PA|+|PB|+|PC|=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt7$
【解析】
由于$$S_{\triangle PAB}=\dfrac12\cdot PA\cdot PB\cdot \sin \angle APB,$$所以$$\dfrac{S_{\triangle PAB}}{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}}=\dfrac12\tan\angle APB,$$同理可得$$\tan\angle APB=\tan\angle BPC=\tan\angle CPA,$$因此$$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=\dfrac{2\pi}{3},$$将 $Rt\triangle ABC$ 绕着点 $A$ 旋转 $\dfrac{\pi}{3}$ 得到新 $Rt\triangle AB'C'$，使得 $AC'$ 与 $AB$ 位于同一直线上．则有$$|CB'|=|PA|+|PB|+|PC|,$$在 $\triangle AB'C$ 中解三角形得$$CB'=\sqrt7,$$故所求表达式得值为 $\sqrt7$．
题目
答案
解析
备注
