由于$$(1+\sqrt2)^{10}=(3+2\sqrt2)^5,$$记$$\begin{split} &a=3+2\sqrt2\\
&b=3-2\sqrt2\\
&S_k=a^k+b^k \end{split}$$其中 $k\in\mathbb N$，则 $a,b$ 是方程 $x^2-6x+1=0$ 的两个根，所以$$\begin{split} &a^n=6a^{n-1}-a^{n-2}\\
&b^n=6b^{n-1}-b^{n-2}\\
&S_n=6S_{n-1}-S_{n-2} \end{split}$$由于 $S_0=2,S_1=6$，则 $S_n,n=0,1,2,3,\cdots$ 的个位数变化情况为$$2,6,4,8,4,6,2,6,4,\cdots$$即 $S_n$ 的个位数字以 $6$ 为周期变化．因此 $S_5$ 的个位数字为 $6$，又$$a^5=S_5-b^5,$$且$$0<b<1.$$因此$$[a^5]=5.$$