设 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是正数数列，其前 $n$ 项和为 ${S_n}$，满足：对所有的正整数 $n$，${a_n}$ 与 $2$ 的等差中项等于 ${S_n}$ 与 $2$ 的等比中项，则 $ \mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_n} - {a_n}}}{{4{n^2}}}= $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，$$\dfrac{{{a_n} + 2}}{2} = \sqrt {2{S_n}}\Rightarrow 8{S_n} = {\left( {{a_n} + 2} \right)^2}.$$所以$$8{a_n} = {\left( {{a_n} + 2} \right)^2} - {\left( {{a_{n - 1}} + 2} \right)^2},$$化简得$${a_n} - {a_{n - 1}} = 4,n = 2,3,4, \cdots.$$于是 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 为公差 $d = $ $4$ 的等差数列，所以$$ \mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_n} - {a_n}}}{{4{n^2}}} = \dfrac{d}{8} = \dfrac{1}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
