已知函数 $f\left(x\right) = { \begin{cases}
2 ^x - a&\left(x < 1\right), \\
{\log _2}\left(x + a\right)&\left(x \geqslant 1\right). \\
\end{cases} }$ $\left(a > - 1\right)$．① 当 $a = 0$ 时，若 $f\left(x\right) = 0$，则 $x = $ ；② 若 $f\left(x\right)$ 是 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是 ．
2 ^x - a&\left(x < 1\right), \\
{\log _2}\left(x + a\right)&\left(x \geqslant 1\right). \\
\end{cases} }$ $\left(a > - 1\right)$．① 当 $a = 0$ 时，若 $f\left(x\right) = 0$，则 $x = $
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 1 $；$\left[ 1, + \infty \right)$
【解析】
① 当 $a = 0$ 时，若 $f\left(x\right) = 0$，则$$ {\log_2}x=0 ,$$解得 $ x=1 $．
② 若 $f\left(x\right)$ 是 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 上的增函数，则$$ 2-a\leqslant \log_2\left(1+a\right).$$显然，当 $ a=1 $ 时，有$$ 2-a=\log_2\left(1+a\right) ;$$当 $ -1<a<1 $ 时，有 $ 2-a>1 $，$ \log_2\left(1+a\right)<1 $，所以$$2-a>\log_2\left(1+a\right) ;$$当 $ a>1 $ 时，有 $ 2-a<1 $，$ \log_2\left(1+a\right)>1 $，所以$$ 2-a<\log_2\left(1+a\right) .$$故 $a$ 的取值范围是 $\left[ 1, + \infty \right)$．
② 若 $f\left(x\right)$ 是 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 上的增函数，则$$ 2-a\leqslant \log_2\left(1+a\right).$$显然，当 $ a=1 $ 时，有$$ 2-a=\log_2\left(1+a\right) ;$$当 $ -1<a<1 $ 时，有 $ 2-a>1 $，$ \log_2\left(1+a\right)<1 $，所以$$2-a>\log_2\left(1+a\right) ;$$当 $ a>1 $ 时，有 $ 2-a<1 $，$ \log_2\left(1+a\right)>1 $，所以$$ 2-a<\log_2\left(1+a\right) .$$故 $a$ 的取值范围是 $\left[ 1, + \infty \right)$．
题目
答案
解析
备注
