由 $f\left(x\right)=ax^{2}-4x+c$ 的值域为 $\left[0,+\infty\right)$ 可得 $ ac=4 $，且 $ a>0 $，$ c>0 $．又因为 $ f\left(1\right)\leqslant 4 $，所以 $ 4\leqslant a+c\leqslant 8 $．所以\[ \begin{split}u&=\dfrac{a}{c^2+4}+\dfrac{c}{a^2+4}\\&=\dfrac{a}{c^2+ac}+\dfrac{c}{a^2+ac} \\&=\dfrac{1}{a+c}\cdot\dfrac{a^2+c^2}{ac}\\&=\dfrac{1}{4}\left[\left(a+c\right)-\dfrac{8}{a+c}\right],\end{split} \]因为函数 $ u=\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{8}{x}\right) $ 在 $ \left[4,8\right] $ 上单调递增，所以 $u$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,\dfrac 74\right]$．