已知函数 $g\left(x\right)=x^2-\sqrt a x+1$ 的值域为 $\left[0,+\infty\right)$，设 $f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{x}$，若不等式 $f\left(2^x\right)-k\cdot 2^x\geqslant 0$ 在 $x\in\left[-1,1\right]$ 上有解，则实数 $k$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,1\right]$
【解析】
由于\[g(x)=\left(x-\dfrac{\sqrt a}2\right)^2-\dfrac a4+1,\]其值域为 $[0,+\infty)$，于是 $a=4$，进而\[f(x)=x+\dfrac 1x-2.\]根据题意，有\[\exists x\in\left[\dfrac 12,2\right],x+\dfrac 1x-2-kx\geqslant 0,\]也即\[\exists x\in\left[\dfrac 12,2\right],k\leqslant 1+\dfrac 1{x^2}-\dfrac 2x,\]也即\[\exists x\in\left[\dfrac 12,2\right],k\leqslant (x-1)^2,\]因此实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
题目
答案
解析
备注
