定义运算 $a\oplus b=\begin {cases}a,&a\leqslant b,\\b,&a>b,\end{cases}$ 则关于非零实数 $x$ 的不等式 $\left(x+\dfrac4x\right)\oplus 4 \geqslant 8\left(x\oplus \dfrac1x\right)$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\dfrac12\right]\cup\left[2,+\infty\right)$
【解析】
解方程\[x+\dfrac 4x=4\]和\[x=\dfrac 1x,\]可得讨论分界点为 $x=-1,0,1,2$．因此原不等式等价于\[\begin{cases} x+\dfrac 4x\geqslant 8x,& x\in(-\infty,-1],\\
x+\dfrac 4x\geqslant \dfrac 8x,&x\in (-1,0),\\
4\geqslant 8x,&x\in (0,1),\\
4\geqslant \dfrac 8x,&x\in [1,+\infty),\end{cases}\]因此所求不等式的解集为 $\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\dfrac12\right]\cup\left[2,+\infty\right)$．
x+\dfrac 4x\geqslant \dfrac 8x,&x\in (-1,0),\\
4\geqslant 8x,&x\in (0,1),\\
4\geqslant \dfrac 8x,&x\in [1,+\infty),\end{cases}\]因此所求不等式的解集为 $\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\dfrac12\right]\cup\left[2,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
