离心率为 $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ 的椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ 的焦点为 ${F_1}$ 和 ${F_2}$，点 $P$ 在椭圆上，若 $P{F_1}$ 的中点在 $y$ 轴上，则 $\left| {P{F_1}} \right|$ 是 $\left| {P{F_2}} \right|$ 的 \((\qquad)\) 倍．
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
如图．
由于 $O$ 为线段 ${F_1}{F_2}$ 的中点，于是 $P{F_2} \perp x$ 轴．因此 $\left| {P{F_2}} \right| = \dfrac{{{b^2}}}{a}$（通径的一半），所以$$\dfrac{{\left| {P{F_1}} \right|}}{{\left| {P{F_2}} \right|}} = \dfrac{{2a - \dfrac{{{b^2}}}{a}}}{{\dfrac{{{b^2}}}{a}}} = \dfrac{{2{a^2} - {b^2}}}{{{b^2}}} = 7.$$
由于 $O$ 为线段 ${F_1}{F_2}$ 的中点，于是 $P{F_2} \perp x$ 轴．因此 $\left| {P{F_2}} \right| = \dfrac{{{b^2}}}{a}$（通径的一半），所以$$\dfrac{{\left| {P{F_1}} \right|}}{{\left| {P{F_2}} \right|}} = \dfrac{{2a - \dfrac{{{b^2}}}{a}}}{{\dfrac{{{b^2}}}{a}}} = \dfrac{{2{a^2} - {b^2}}}{{{b^2}}} = 7.$$
题目
答案
解析
备注
