关于函数 $f\left(x\right) = \begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,\\0,x&\in \complement_{\mathbb R}Q,\\ \end{cases} $ 有以下四个命题：
① 对于任意的 $x\in\mathbb {R}$，都有 $f\left(f\left(x\right)\right) = 1$；
② 函数 $f\left(x\right)$ 是偶函数；
③ 若 $T$ 为一个非零有理数，则 $f\left(x + T\right) = f\left(x\right)$ 对任意 $x\in\mathbb {R}$ 恒成立；
④ 在 $f\left(x\right)$ 图象上存在三个点 $A,B,C$，使得 $\triangle{ABC}$ 为等边三角形．
其中正确命题的序号是 ．
① 对于任意的 $x\in\mathbb {R}$，都有 $f\left(f\left(x\right)\right) = 1$；
② 函数 $f\left(x\right)$ 是偶函数；
③ 若 $T$ 为一个非零有理数，则 $f\left(x + T\right) = f\left(x\right)$ 对任意 $x\in\mathbb {R}$ 恒成立；
④ 在 $f\left(x\right)$ 图象上存在三个点 $A,B,C$，使得 $\triangle{ABC}$ 为等边三角形．
其中正确命题的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②③④
【解析】
命题 ① 正确，若 $x$ 是有理数，则 $f\left(x\right)=1$，则 $f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(1\right)=1$；若 $x$ 是无理数，则 $f\left(x\right)=0$，则 $f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(0\right)=1$．即对于任意的 $x\in\mathbb {R}$，都有 $f\left(f\left(x\right)\right)=1$．
命题 ② 正确，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意 $x\in\mathbb {R}$，都有 $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$，则函数 $f\left(x\right)$ 是偶函数．
命题 ③ 正确，若 $x$ 是有理数，则 $x+T$ 也是有理数；若 $x$ 是无理数，则 $x+T$ 也是无理数．所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 $T$，都有\[\forall x\in \mathbb R,f(x+T)=f(x).\]
命题 ④ 正确，取 $x_1=-\dfrac{\sqrt3}{3}$，$x_2=0$，$x_3=\dfrac{\sqrt3}{3}$，可得$$f\left(x_1\right)=0,f\left(x_2\right)=1,f\left(x_3\right)=0,$$所以 $A\left(\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$，$B\left(0,1\right)$，$C\left(-\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$，恰好 $\triangle{ABC}$ 为等边三角形．
命题 ② 正确，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意 $x\in\mathbb {R}$，都有 $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$，则函数 $f\left(x\right)$ 是偶函数．
命题 ③ 正确，若 $x$ 是有理数，则 $x+T$ 也是有理数；若 $x$ 是无理数，则 $x+T$ 也是无理数．所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 $T$，都有\[\forall x\in \mathbb R,f(x+T)=f(x).\]
命题 ④ 正确，取 $x_1=-\dfrac{\sqrt3}{3}$，$x_2=0$，$x_3=\dfrac{\sqrt3}{3}$，可得$$f\left(x_1\right)=0,f\left(x_2\right)=1,f\left(x_3\right)=0,$$所以 $A\left(\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$，$B\left(0,1\right)$，$C\left(-\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$，恰好 $\triangle{ABC}$ 为等边三角形．
题目
答案
解析
备注
