若对任意 $x\in \left[1,2\right]$，不等式 $4^x-a\cdot 2^{x+1}+a^2-1>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,1)\cup (5,+\infty)$
【解析】
设 $t=2^x$，其中 $t\in [2,4]$，则命题等价于\[\forall t\in [2,4],t^2-2at+a^2-1>0,\]记不等式左侧函数为 $f(t)$，则\[\begin{cases} f(2)>0,\\ f(4)>0,\end{cases}\]解得 $a<1$ 或 $a>5$．而当 $a<1$ 或 $a>5$ 时，函数 $f(t)$ 的对称轴不在区间 $[2,4]$ 内，因此符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
