设函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上存在导数 $f'(x)$，对于任意的实数 $x$，有 $f(x)+f(-x)=2x^2$，当 $x\in(-\infty,0]$ 时，$f'(x)+1<2x$．若 $f(2+m)-f(-m)\leqslant 2m+2$，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-1,+\infty)$
【解析】
构造 $g(x)=f(x)-x^2+x$，由 $f(x)+f(-x)=2x^2$，得$$g(x)+g(-x)=0,$$故 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是奇函数，又当 $x\leqslant0$ 时，$$g'(x)=f'(x)-2x+1<0,$$所以 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，又\[f(2+m)-f(-m)\leqslant2m+2,\]即$$g(2+m)\leqslant g(-m),$$因此有$$2+m\geqslant-m,$$解得实数 $m$ 的取值范围是 $[-1,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
