对于函数 $f(x)$，若 $\forall a,b,c\in\mathbb R$，$f(a),f(b),f(c)$ 为某一三角形的三条边，则称 $f(x)$ 为“可构造三角形函数”，已知 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+t}{\mathrm{e}^x+1}$ 是“可构造三角形函数”，则实数 $t$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac12,2\right)$
【解析】
根据题意，首先函数 $f(x)$ 的值域恒正，即$$\dfrac{\mathrm{e}^x+t}{\mathrm{e}^x+1}>0,$$解得 $t>0$；接下来，求解函数 $f(x)$ 的最值，由题$$f(x)=1+\dfrac{t-1}{\mathrm{e}^x+1},$$当 $0<t<1$ 时，$f(x)$ 单调递增，故 $t<f(x)<1$，此时需 $1<2t$；
当 $t=1$ 时，$f(x)=1$，成立；
当 $t>1$ 时，$f(x)$ 单调递减，故 $1<f(x)<t$，此时需 $t<2\cdot1$；
综上所述，实数 $t$ 的取值范围是 $\left(\dfrac12,2\right)$．
当 $t=1$ 时，$f(x)=1$，成立；
当 $t>1$ 时，$f(x)$ 单调递减，故 $1<f(x)<t$，此时需 $t<2\cdot1$；
综上所述，实数 $t$ 的取值范围是 $\left(\dfrac12,2\right)$．
题目
答案
解析
备注
